Kumpulan Rumus dan Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Posted by on 2016-03-18 - 9:36 AM

Kumpulan Rumus Matematika - Persamaan Kuadrat. Persamaan kuadrat merupakan salah satu topik dalam ilmu matematika yang sangat banyak aplikasinya. Konsep-konsep persamaan kuadrat banyak digunakan dalam topik lainnya seperti logaritma, eksponen, bahkan juga digunakan dalam bidang ilmu yang lain seperti fisika. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami konsep-konsep dasar dalam persamaan kuadrat. Itu sebabnya pada kesempatan ini Edukiper akan mencoba merangkum rumus-rumus persamaan kuadrat.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

ax2 + bx + c = 0

Dengan a,b , dan c merupakan himpunan bilangan real dan a ≠ 0.

Keterangan :
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = suku tetapan

Contoh :
Nyatakan 2x2 = 2x - 5 ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat dan nyatakan nilai masing-masing koefisiennya.

Jawab :
⇒ 2x2 = 2x - 5
⇒ 2x2 - 2x + 5 = 0
Jadi, a = 2, b = -2, c = 5.

Kumpulan Rumus Lengkap Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai a, b, dan c, maka persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi lima bagian yaitu :
  1. Persamaan Kuadrat Biasa
    x2 + bx + c = 0

    Dengan a = 1.

  2. Persamaan Kuadrat Sempurna 
    ax2 + c = 0

    Dengan b = 0.

  3. Persamaan Kuadrat Tak Lengkap
    ax2 + bx = 0

    Dengan c = 0.

  4. Persamaan Kuadrat Real
    ax2 + bx + c = 0

    Dengan a, b, dan c bilangan real.

  5. Persamaan Kuadrat Rasional
    x2 + bx + c = 0

    Dengan a, b, dan c bilangan irasional.

Rumus Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jika diberi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka diskriminannya adalah :
D = b2 − 4 ac

Dengan :
D = diskriminan persamaan kuadrat
b = koefisien dari x
a = koefisien dari x2
c = suku tetapan

Contoh :
Tentukan diskriminan dari x2 + 4x - 6 = 0.

Jawab :
Dari x2 + 4x - 6 = 0, dik a = 1, b = 4, dan c = -6

Diskriminan :
⇒ D = b2 − 4 ac
⇒ D = 42 − 4(1)(-6)
⇒ D = 16 + 24
⇒ D = 40

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai diskriminannya, maka jenis akar dapat dibagi menjadi :
  1. Jika D > 0
    ⇒ Akar-akar real berlainan

  2. Jika D = 0
    ⇒ Akar-akar kembar, real, dan rasional

  3. Jika D < 0
    ⇒ Akar-akar tidak real.

Contoh :
Tentukanlah jenis akar persamaan kuadrat x2 - 8x + 4 = 0!

Jawab :
Dari x2 - 8x + 4 = 0, dik a = 1, b = -8, dan c = 4.

Diskriminan :
⇒ D = b2 − 4 ac
⇒ D = (-8)2 − 4(1)(4)
⇒ D = 64 - 16
⇒ D = 48
⇒ D > 0
Karena D > 0, maka jenis akarnya adalah real dan berlainan.

Rumus Menyelesaikan Persamaan Kuadrat atau Mencari Akar-akar

  1. Dengan Metode Pemfaktoran
    a(x − x1)(x − x2) = 0

    Dengan x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat.

    Contoh :
    Tentukan akar-akar dari  x2 - 5x + 6 = 0!

    Jawab :
    ⇒ x2 - 6x + 9 = 0
    ⇒ (x - 3)(x - 2) = 0
    ⇒ x = 3 atau x = 2

  2. Dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna
    1. Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk : 
      (x + p)2 = q

      Dengan q ≥ 0

    2. Tentukan akar-akar sesuai bentuk terakhir :
      x + p = ±√q atau x = -p ±√q

    Contoh :
    Tentukan akar-akar x2 - 2 = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna!

    Jawab :
    ⇒ x2 - 2x - 2 = 0
    ⇒ (x2 - 2x + 1) + (-1) - 2 = 0
    ⇒ (x - 1)2 - 3 = 0
    ⇒ (x - 1)2 = 3
    ⇒ (x - 1) = ±√3
    ⇒ x = 1 + √3 atau x = 1 - √3.

  3. Dengan Rumus Kuadrat abc
    x1,2 = -b ± √b2 − 4ac
    2a

    Contoh :
    Tentukan akar dari persamaan x2 - 4x + 3 = 0.

    Jawab :
    Dari x2 - 4x + 3 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 3
    ⇒ x1,2 = -b ± √b2 − 4ac
    2a
    ⇒ x1,2 = -(-4) ± √(-4)2 − 4(1)(3)
    2(1)
    ⇒ x1,2 = 4 ± √16 − 12
    2
    ⇒ x1,2 = 4 ± 2
    2
    ⇒ x1,2 = 2 ± 1
    Jadi x = 2 + 1 = 3  atau x = 2 - 1 = 1

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika diberi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar x1 dan x2, maka :
  1. Jumlah Akar
    x1 + x2 = -b/a

  2. Hasil Kali Akar 
    x1 . x2 = c/a

  3. Selisih Akar
    x1 − x2  = ± D
    a

Keterangan :
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = suku tetapan
D = diskriminan

Contoh :
Tentukanlah jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan x2 - 4x + 3 = 0.

Jawab :
Dari x2 - 4x + 3 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 3

Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-4)/1
⇒ x1 + x2 = 4

Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 3/1
⇒ x1 . x2 = 3

Bentuk Khusus Dalam Rumus Jumlah dan Hasil Kali 

x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1.x2 
x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 − x2)
x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1.x2(x1 + x2)
x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x1.x2(x1 − x2)
x14 + x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]2  − 2(x1.x2)2
x14 − x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2] [(x1 − x2)(x1 + x2)]

Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

  1. Rumus Umum
    Persamaan Kuadrat Awal :
    (x − x1)(x − x2) = 0
    atau
    x2 − (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

    Dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat awal.

    Persamaan Kuadrat Baru :
    x2 − (α + β)x + α.β = 0

    Dengan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

  2. Rumus Khusus
    1. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Kali Akar Sebelumnya (nx1 dan nx2)
      ax2 + nb x + n2c = 0

      Contoh :
      Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 - 6x + 2 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar persamaan tersebut.

      Jawab :
      Dari x2 - 6x + 2 = 0 dik a = 1, b = -6, dan c = 2.
      Dari soal diketahui n = 2.

      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ ax2 + nb x + n2c = 0
      ⇒ 1x2 + 2(-6)x + 22(2) = 0
      ⇒ x2  - 12x + 8 = 0

    2. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Berkebalikan Dari Akar Sebelumnya (1/x1 dan 1/x2)
      cx2 + bx + a = 0

      Contoh :
      Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 - 4x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2.

      Jawab :
      Dari x2 - 4x + 5 = 0 dik a = 1, b = -4, dan c = 5.

      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ cx2 + bx + a = 0
      ⇒ 5x2 + (-4)x + 1 = 0
      ⇒ 5x2  - 4x + 1 = 0

    3. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Berlawanan Dengan Akar Sebelumnya (-x1 dan -x2)
      ax2 − bx + c = 0

      Contoh :
      Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan 2x2 - 4x + 9 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya -x1 dan -x2.

      Jawab :
      Dari 2x2 - 4x + 9 = 0 dik a = 2, b = -4, dan c = 9.

      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ ax2 − bx + c = 0
      ⇒ 2x2 − (-4)x + 9 = 0
      ⇒ 2x2  + 4x + 9 = 0

    4. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Lebihnya dari Akar Sebelumnya (x1 + n dan x2 + n)
      a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0

      Contoh :
      Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 - 2x - 6 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 + 3 dan x2 + 3.

      Jawab :
      Dari x2 - 2x - 6 = 0 dik a = 1, b = -2, dan c = -6.
      Dari soal diketahui n = 3.

      Persamaan Kuadrat Baru :
      ⇒ a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0
      ⇒ 1(x - 3)2 + (-2)(x - 3) + (-6) = 0
      ⇒ x2  - 6x + 9 - 2x + 6 - 6 = 0
      ⇒ x2  - 8x + 9 = 0

    5. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya n Kurangnya dari Akar Sebelumnya (x1 - n dan x2 - n)
      a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

    6. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Kuadrat Akar Sebelumnya (x12 dan x22)
      a2x2 − (b2 - ac)x + c2 = 0

    7. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Saling Berkebalikan (x1/x2 dan x2/x1)
      acx2 − (b2 - ac)x + ac = 0

    8. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Jumlah dan Hasil Kali Akar Sebelumnya (x1 + x2 dan x1 . x2)
      a2x2 + (ab - ac)x − bc = 0

    9. Persamaan Kuadrat Baru Yang Akar-akarnya Pangkat Tiga Akar Sebelumnya (nx13 dan nx23)
      a3x2 + (b3 - 3abc)x + c3 = 0



Seluruh konten yang diterbitkan di edukiper.com dilindungi undang-undang hak cipta. Dilarang menerbitkan ulang konten dalam bentuk dan cara apapun.

Related Post:

Advertisements